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不定方程的解题思路

发布:2021-08-10    来源:甘肃公务员考试网 字号: | | 我要提问我要提问
  定方程(组)是指未知数个数多于方程个数,不能通过一般的消元法直接得到唯一解,常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合,故需要考生们在备考的过程中加以重视。今天与大家一起探讨一下公务员行测考试中不定方程(组)的解题思路。

  不定方程(组)包含不定方程与不定方程组,而根据题目条件对未知数是否必须为整数的限制,可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。前者指未知数必须为正整数,后者则无此要求。两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路,方法性与技巧性比较强,掌握相应的思路去解题便会事半功倍。

  不定方程

  题型特征:根据题干可列出一个包含两个未知数的方程

  解题方法:首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性,然后尝试代入排除

  例1.【2015联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动,已知去A地每人往返车费20元,人均植树5棵,去B地每人往返车费30元,人均植树3棵,设到A地有员工x人,A、B两地共植树y棵,y与x之间满足y=8x-15,若往返车费总和不超过3000元时,那么,最多可植树多少棵?

  A.498

  B.400

  C.489

  D.500

  【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15,一个方程两个未知数为不定方程,8x为偶数,15为奇数,偶数-奇数=奇数,则y为奇数,排除A、B、D项,正确答案为C。

  【点评】本题若采用常规解方程的方法也可解题,但耗费时间久,不适合考场使用。本题不需要算车费等其他数值,因此可利用数字特性直接锁定答案。

  不定方程组

  1.限定性不定方程组

  题型特征:可根据题意列出方程组,未知数多于方程数,且未知数必须为正整数,常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等

  解题方法:先消元转化为不定方程,再按不定方程求解

  例1.【2017江苏】小王打靶共用了10发子弹,全部命中,都在10环、8环和5环上,总成绩为75环,则命中10环的子弹数是:

  A.1 发 B.2 发

  C.3 发 D.4 发

  【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。由子弹总数为10发,总环数为75环,可列不定方程组:

  x+y+z=10……①;

  10x+8y+5z=75……②;

  求命中10环子弹数x,由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均为5倍数,3y也必然为5倍数,y只能为5,此时x=2,正确答案为B。

  【点评】将不定方程组消元变为不定方程时,求谁保留谁,消掉另外两个未知数中较好计算的一个。本题也可直接分析方程②,10x+8y+5z=75中,10x、5z、75均为5的倍数,则8y一定也是5的倍数,y=5、10、15…,加和不能超过 75,则 y=5,代入求解同样可以锁定B项。但该方法有局限性,如当z的系数为6时无法使用,需要根据具体题目具体分析。

  例2.【2018四川下】某企业采购A类、B类和C类设备各若干台,21台设备共用48万元。已知A、B、C类设备的单价分别为1.2万元、2万元和2.4万元。问该企业最多可能采购了多少台C类设备?

  A. 16

  B. 17

  C. 18

  D. 19

  【解题思路】设该企业采购A类、B类和C类设备数量分别为A、B、C。已知“21台设备共用48万元”,则A+B+C=21……①,1.2A+2B+2.4C=48……②。联立两式,②×5-①×6可得:4B+6C=114,化简得:2B+3C=57。由于设备购买数量一定是不为零的整数,根据倍数特性,57和3C均可以被3整除,则2B一定可以被3整除。若要C类设备最多即B最小,B最小为3,代入原式可得:C=17,A=1,符合题意。因此该企业最多可能采购了17台C类设备,正确答案为B。

  【点评】消元时也可消掉B,②-①×2可得:-0.8A+0.4C=6,约分得:-2A+C=15,即C-2A=15。2A为偶数,15为奇数,奇数-偶数=奇数,则C必须是奇数,排除A、C项。剩二代一,题干要求“最多”,因此从最大的选项开始代入,代入D项:19-2A=15,解得 A=2,B=0,由于设备购买数量一定是不为零的整数,故B≠0,排除D项。提示大家,正确答案有且仅有一个,排除掉三个错误答案后,剩下的一定为正确答案,无需再次验证。

  2.非限定性不定方程组

  题型特征:可根据题意列出方程组,未知数多于方程数,且未知数不一定为正整数,常指物品的价格、工作的时间等,需要求解的是一组未知数的和。

  解题方法:特值法(赋零)或配系数法

  当未知数表示时间和钱,可以为小数,这样的方程组有无数组解,有好多解都满足方程,随便找一组即可,而0最简单,因此可以用赋零法。建议使用时让最复杂的未知数为0,代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的,若考场上无法凑出来,则无法求解,因此建议用赋零法解题。

  例1.【2016春季联考】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时,加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张,共需要多少小时?

  A. 47.5

  B. 50

  C. 52.5

  D. 55

  【解题思路】假设每张桌子、凳子、椅子的所需时间分别为a小时、b小时、c小时,则2a+4b=10、4a+8c=22,化简得到a+2b=5①,a+2c=5.5②,①+②=2a+2b+2c=10.5,则10(a+b+c)=52.5,所需时间52.5小时,正确答案为C。

  【点评】本题中未知数为时间,时间不一定是整数,且要求的量为一组数的和,若考生数字敏感性较差,无法通过配系数求解,也可用赋零法解题。赋值a=0,原方程组可转化为4b=10,8c=22,4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。

  【例2】【2018上海】现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元?

  A. 50

  B. 100

  C. 150

  D. 200

  【解题思路】根据题干条件,假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元,则根据题意可列方程组:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②。赋丙的价格为0,即z=0。原方程组转化为x+3y=200;2x+5y=350,解得:x=50,y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元,正确答案为B。

  【点评】若采用配系数法,可将原方程组:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②,①×3得:3x+9y+21z=600③,②×2:4x+10y+22z=700④,④-③解得 x+y+z=100。配系数法不是每道题都适用,需要较强的数字敏感度,建议优先掌握赋零法。

  掌握不定方程(组)的解法可有效提高和差倍比、经济利润、年龄问题等常考题型的解题速度与正确率,建议各位考生加强练习,熟练运用。

  最后祝愿各位考生备考顺利,成功上岸!


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